Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções com múltiplas variáveis aplicando as regras de derivação padrão, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. A função é:
A constante 15 desaparecerá quando derivarmos, já que a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Substituímos de volta na expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. Usando a mesma função:
Passo 8
Derivamos
em relação a
:
Passo 9
Substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
e)
e)
Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em
.
d)
d)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
b)
b)