Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções com múltiplas variáveis aplicando as regras de derivação padrão, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a , que chamaremos de . A função é:
A constante 15 desaparecerá quando derivarmos, já que a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Substituímos de volta na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que chamaremos de . Usando a mesma função:

Passo 8

Derivamos em relação a :

Passo 9

Substituímos de volta na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
e)
Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em .
d)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
b)