Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em
.
e)
em
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função
no ponto
. Isso está dentro do estudo de Cálculo Multivariável, onde a gente trabalha com superfícies e suas propriedades locais, como planos tangentes e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano que “encosta” na superfície naquele ponto específico e a reta que é perpendicular a esse plano nesse mesmo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície e quer aproximar essa superfície em um ponto específico por um plano plano que toque a superfície exatamente nesse ponto, sem cortar a superfície naquele ponto. Esse é o plano tangente.
Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos identificar um vetor normal a esse plano. Um vetor normal é perpendicular ao plano. No caso de uma função
, o vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais em relação a
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Então, o vetor normal é formado por esses coeficientes:
. O
vem da fórmula geral do vetor normal para superfícies na forma
, que é
.
Passo 3
Agora que temos o vetor normal
e o ponto
onde o plano tangente toca a superfície, podemos usar a equação geral do plano:
Onde
são as componentes do vetor normal, e
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto
. A reta normal é aquela que passa pelo ponto dado e tem a mesma direção do vetor normal que encontramos.
As equações paramétricas da reta são dadas por:
Onde
são as componentes do vetor de direção (no nosso caso, o vetor normal), e
é o parâmetro.
Usando
e
:
Resposta
A equação do plano tangente à função
no ponto
é:
E as equações paramétricas da reta normal são: