Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
e) z = 3x + 4y em (1, 1, 7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função no ponto . Isso está dentro do estudo de Cálculo Multivariável, onde a gente trabalha com superfícies e suas propriedades locais, como planos tangentes e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano que “encosta” na superfície naquele ponto específico e a reta que é perpendicular a esse plano nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície e quer aproximar essa superfície em um ponto específico por um plano plano que toque a superfície exatamente nesse ponto, sem cortar a superfície naquele ponto. Esse é o plano tangente.
Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos identificar um vetor normal a esse plano. Um vetor normal é perpendicular ao plano. No caso de uma função , o vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Então, o vetor normal é formado por esses coeficientes: . O vem da fórmula geral do vetor normal para superfícies na forma , que é .

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto onde o plano tangente toca a superfície, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal, e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal é aquela que passa pelo ponto dado e tem a mesma direção do vetor normal que encontramos.
As equações paramétricas da reta são dadas por:
Onde são as componentes do vetor de direção (no nosso caso, o vetor normal), e é o parâmetro.
Usando e :

Resposta

A equação do plano tangente à função no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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