Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
I) f(x, y) = y^2 + 1/raiz(30 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais da função . O conteúdo que precisamos é de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável isoladamente. Vamos precisar usar regras de derivação básicas como a derivada de uma potência e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem dois termos. O primeiro termo, , não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Para o segundo termo, , vamos reescrever como para facilitar a derivação. Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, derivamos o primeiro termo em relação a , que é .
Para o segundo termo , novamente reescrevemos como e aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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