Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio. (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a função vetorial
é contínua no ponto
. O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre a continuidade de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser contínua e como aplicar isso em funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No caso de funções vetoriais, isso vale para cada componente da função separadamente.
Passo 3
Nossa função
tem duas componentes:
- A componente na direção
é . - A componente na direção
é .
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas componentes em
.
Passo 4
Primeira componente:
.
Sabemos que a função seno (
) é contínua em todo os números reais, incluindo
. Então, multiplicando por 3, a função
também é contínua em
.
Passo 5
Segunda componente:
.
Essa é uma função linear, que também é contínua em todo os números reais. Portanto,
é contínua em
.
Passo 6
Como ambas as componentes da função
são contínuas em
, concluímos que a função vetorial inteira
é contínua nesse ponto.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.