Determine se r(t) é contínua em t = 0. Explique seu raciocínio. (a) r(t) = 3 sen(t) i - 2t j

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se a função vetorial é contínua no ponto . O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre a continuidade de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser contínua e como aplicar isso em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No caso de funções vetoriais, isso vale para cada componente da função separadamente.

Passo 3

Nossa função tem duas componentes:
  • A componente na direção é .
  • A componente na direção é .
Vamos verificar a continuidade de cada uma dessas componentes em .

Passo 4

Primeira componente: .
Sabemos que a função seno ( ) é contínua em todo os números reais, incluindo . Então, multiplicando por 3, a função também é contínua em .

Passo 5

Segunda componente: .
Essa é uma função linear, que também é contínua em todo os números reais. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Como ambas as componentes da função são contínuas em , concluímos que a função vetorial inteira é contínua nesse ponto.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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