Utilize coordenadas cilíndricas.
Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para determinarmos o volume de um sólido que está limitado por um cone e uma esfera. Especificamente, o cone é dado por e a esfera por . Para resolver isso, vamos usar as coordenadas cilíndricas, que são super úteis para lidar com formas circulares e esféricas. Precisamos entender como transformar essas equações para coordenadas cilíndricas e depois configurar uma integral tripla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E .
Então, a equação do cone fica:
E a equação da esfera fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção entre o cone e a esfera para determinar os limites de integração. Substituindo na equação da esfera:
Então, o raio máximo é 1.

Passo 4

Com base nisso, podemos definir os limites de integração:
  • varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (como encontramos na interseção).
  • Para cada , varia do cone até a esfera. Ou seja, de até (resolvendo para ).

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para o volume :
Aqui, o termo é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em :
Vamos separar em duas integrais:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição , então , ou . A integral se torna:
Para a segunda integral:
Então, combinando:

Passo 8

Agora, a integral em :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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