Determinar a equação do plano tangente à superfície z = raiz(9 - x^2 - y^2) no ponto 1, 2, 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para encontrar as inclinações da superfície nos eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite o cálculo das derivadas parciais. Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, temos uma função implícita:

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Também precisamos da derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
Você pode simplificar essa equação, se preferir:

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