Encontre a transformada Laplace de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função que é definida por partes:
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a propriedade do deslocamento (ou teorema da primeira mudança de tempo) na Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função geral é dada por:
No nosso caso, como é zero de 0 a 1, a integral de 0 a 1 será zero. Portanto, podemos focar na parte da função onde .

Passo 3

Para lidar com a parte da função onde , vamos usar uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir . Assim, quando , , e quando vai para , também vai para .
Substituindo, temos e . A função para fica:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a transformada de Laplace considerando a mudança de variável:
Podemos fatorar fora da integral:

Passo 5

Expandindo , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da transformada:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Use a regra de L(a) ,
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Determine a transformada de Laplace de: