Encontre a transformada Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida por partes:
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a propriedade do deslocamento (ou teorema da primeira mudança de tempo) na Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função geral
é dada por:
No nosso caso, como
é zero de 0 a 1, a integral de 0 a 1 será zero. Portanto, podemos focar na parte da função onde
.
Passo 3
Para lidar com a parte da função onde
, vamos usar uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir
. Assim, quando
,
, e quando
vai para
,
também vai para
.
Substituindo, temos
e
. A função
para
fica:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a transformada de Laplace considerando a mudança de variável:
Podemos fatorar
fora da integral:
Passo 5
Expandindo
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da transformada:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Determinar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Use a regra de L(a)
,
Encontre a transformada Laplace de:
Determine a transformada de Laplace de: