Determinar a equação do plano tangente à superfície z = x^2 + y^2 no ponto 1, 2, 5.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a equação do plano tangente a uma superfície num ponto , a fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar a função da nossa superfície:
E o ponto dado é , então , , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do plano tangente:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:

Passo 8

Por fim, somamos 5 em ambos os lados para isolar o :

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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