Seja diferenciável com e para . Seja
a) Mostre que existe e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função que é diferenciável, com e para todo diferente de zero. A nossa missão aqui no item a) é mostrar que existem as derivadas parciais e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas funcionam quando definimos uma nova função baseada em .

Passo 2

Primeiro, precisamos definir como a função está relacionada com . Embora o enunciado não tenha especificado isso, geralmente em problemas assim, pode ser definida, por exemplo, como . Vamos supor essa definição para prosseguir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto (0,0). Lembrando que a derivada parcial em relação a ( ) mede como varia quando mudamos mantendo constante, e a derivada parcial em relação a ( ) mede como varia quando mudamos mantendo constante.

Passo 4

Vamos começar calculando . Pela definição de derivada parcial:
Substituindo :
Então:
Portanto, existe e é igual a 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Pela definição de derivada parcial:
Substituindo :
Então:
Portanto, também existe e é igual a 0.

Resposta

Assim, mostramos que as derivadas parciais e existem e ambas são iguais a zero.

Exercícios relacionados

Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
a)
Se calcule:
a) ;
Determine o vetor tangente unitário da curva no valor .
Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto .