Seja
diferenciável com
e
para
. Seja
a) Mostre que existe
e
;
a) Mostre que existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função
que é diferenciável, com
e
para todo
diferente de zero. A nossa missão aqui no item a) é mostrar que existem as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas funcionam quando definimos uma nova função
baseada em
.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir como a função
está relacionada com
. Embora o enunciado não tenha especificado isso, geralmente em problemas assim,
pode ser definida, por exemplo, como
. Vamos supor essa definição para prosseguir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto (0,0). Lembrando que a derivada parcial em relação a
(
) mede como
varia quando mudamos
mantendo
constante, e a derivada parcial em relação a
(
) mede como
varia quando mudamos
mantendo
constante.
Passo 4
Vamos começar calculando
. Pela definição de derivada parcial:
Substituindo
:
Então:
Portanto,
existe e é igual a 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Pela definição de derivada parcial:
Substituindo
:
Então:
Portanto,
também existe e é igual a 0.
Resposta
Assim, mostramos que as derivadas parciais
e
existem e ambas são iguais a zero.
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
a)
a)
Se
calcule:
a) ;
a)
Determine o vetor tangente unitário da curva
no valor
.
Determinar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.