Determine o vetor tangente unitário da curva r(t) = (cos(t), 3t, 2sen(2t)) no valor t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário da curva quando . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver isso, vamos precisar derivar a curva em relação a e depois normalizar o vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva em relação a . A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, calculamos cada componente da derivada:
Então,

Passo 4

Vamos avaliar no ponto :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor unitário. Para isso, vamos calcular a magnitude do vetor :

Passo 6

Finalmente, dividimos cada componente de pela magnitude para obter o vetor tangente unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário da curva no ponto é .

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