Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto e que passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação polar de uma circunferência que tem o centro no ponto e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e equações de circunferência nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma circunferência no sistema de coordenadas polares. A fórmula é:
onde:
é a distância do centro da circunferência à origem,
é o ângulo que o raio que liga a origem ao centro faz com o eixo polar.
No nosso caso, o centro está nas coordenadas , então e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio da circunferência. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no sistema polar para encontrar o raio.
A distância entre e é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Sabemos que , então:
Portanto, o raio da circunferência é .
Passo 5
Agora que temos o raio, podemos escrever a equação da circunferência em coordenadas polares. A fórmula que usamos inicialmente já considera o centro e o raio . Porém, pela definição da circunferência, a equação fica mais geral:
Substituindo , e :
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Essa é a equação polar da circunferência que estamos procurando.