Determinar a equação reduzida da circunferência com centro no ponto C(2,3) e que passa pelo ponto P(-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma circunferência que tem o centro no ponto e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar a fórmula da circunferência e entender como calcular o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida da circunferência é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio. No nosso caso, o centro tem coordenadas , então e .

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor do raio r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . Sabemos que o ponto r = raiz(-1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 está na circunferência, então a distância entre e é exatamente o raio .
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular dentro da raiz:
(-1 - 2)^2 = (-3)^2 = 9
(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1
Somando esses valores:
r = raiz9 + 1 = raiz10
Então, o raio �� igual a .

Passo 5

Agora que temos (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (raiz10)^2 , (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10 e , podemos substituir esses valores na equação reduzida da circunferência:
Simplificando :

Resposta

A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10

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