Determine x de modo que x times(imath+3 kappa)=0 e x cdot(imath+kappa)=8.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor x que satisfaz duas condições:
  1. O produto vetorial de x com (imath + 3kappa) é o vetor nulo: x times (imath + 3kappa) = 0
  2. O produto escalar de x com (imath + kappa) é igual a 8: x cdot (imath + kappa) = 8
O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Vetorial, especificamente os produtos vetorial e escalar. Vamos precisar entender como vetores são paralelos e como calcular esses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição do produto vetorial:
x times (imath + 3kappa) = 0
Sabemos que o produto vetorial de dois vetores resulta no vetor nulo apenas se os vetores forem paralelos ou se um dos vetores for o vetor nulo. Como queremos uma solução não trivial para x, concluímos que x é paralelo a (imath + 3kappa).
Isso significa que podemos escrever x como um múltiplo escalar de (imath + 3kappa):
x = lambda (imath + 3kappa)
onde lambda é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar o valor de lambda:
x cdot (imath + kappa) = 8
Substituindo x pela expressão obtida anteriormente:
lambda (imath + 3kappa) cdot (imath + kappa) = 8
Vamos calcular o produto escalar:
(imath + 3kappa) cdot (imath + kappa) = imath cdot imath + imath cdot kappa + 3kappa cdot imath + 3kappa cdot kappa
Sabemos que:
imath cdot imath = 1, imath cdot kappa = 0, kappa cdot kappa = 1
Portanto:
(imath + 3kappa) cdot (imath + kappa) = 1 + 0 + 0 + 3 = 4
Assim, temos:
lambda cdot 4 = 8 implies lambda = 2

Resposta

O vetor x que satisfaz as condições do exercício é:
x = 2 (imath + 3kappa) = 2imath + 6kappa

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