Determine de modo que e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um vetor que satisfaz duas condições:
  1. O produto vetorial de com é o vetor nulo:
  2. O produto escalar de com é igual a 8:
O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Vetorial, especificamente os produtos vetorial e escalar. Vamos precisar entender como vetores são paralelos e como calcular esses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição do produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de dois vetores resulta no vetor nulo apenas se os vetores forem paralelos ou se um dos vetores for o vetor nulo. Como queremos uma solução não trivial para , concluímos que é paralelo a .
Isso significa que podemos escrever como um múltiplo escalar de :
onde é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar o valor de :
Substituindo pela expressão obtida anteriormente:
Vamos calcular o produto escalar:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, temos:

Resposta

O vetor que satisfaz as condições do exercício é:

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,
e vértices de um triângulo. Determine os valores de: (a) a área do triângulo e (b) a altura relativa ao vértice .
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