,
e
vértices de um triângulo. Determine os valores de: (a) a área do triângulo
e (b) a altura relativa ao vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no espaço! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos A=(2,1,1), B=(3,-1,0) e C=(4,2,-2). Precisamos descobrir duas coisas: (a) a área desse triângulo ABC e (b) a altura relativa ao vértice C. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de um triângulo no espaço. A fórmula que vamos usar envolve vetores e o produto vetorial. A área pode ser encontrada pela metade do módulo (ou tamanho) do produto vetorial entre dois lados do triângulo.
Passo 3
Vamos definir os vetores dos lados do triângulo a partir dos pontos dados. Vamos tomar como base os vértices A, B e C:
- Vetor AB = B - A = (3 - 2, -1 - 1, 0 - 1) = (1, -2, -1)
- Vetor AC = C - A = (4 - 2, 2 - 1, -2 - 1) = (2, 1, -3)
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AB e AC. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores AB e AC:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o módulo desse produto vetorial, que representa o dobro da área do triângulo:
Passo 6
Como a área do triângulo é metade desse valor, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a altura relativa ao vértice C. A altura corresponde à distância do ponto C até a base AB. Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto a uma linha no espaço.
Primeiro, sabemos que a área também pode ser expressa como:
Já conhecendo a área e a base (comprimento de AB), podemos resolver para a altura.
Passo 8
Vamos calcular o comprimento do vetor AB:
Passo 9
Agora, usando a relação da área:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 10
Agora, isolamos a altura:
Resposta
(a) A área do triângulo
é
unidades de área.
(b) A altura relativa ao vértice
é
unidades de comprimento.
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Determine
de modo que
e
.
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e que passa pelo ponto
.
Sabendo que
, mostre que
.