Sejam A=(2,1,1), B=(3,
-1,0) e C=(4,2,-2) vértices de um triângulo. Determine os valores de: (a) a área do triângulo A B C e (b) a altura relativa ao vértice C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no espaço! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos A=(2,1,1), B=(3,-1,0) e C=(4,2,-2). Precisamos descobrir duas coisas: (a) a área desse triângulo ABC e (b) a altura relativa ao vértice C. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de um triângulo no espaço. A fórmula que vamos usar envolve vetores e o produto vetorial. A área pode ser encontrada pela metade do módulo (ou tamanho) do produto vetorial entre dois lados do triângulo.

Passo 3

Vamos definir os vetores dos lados do triângulo a partir dos pontos dados. Vamos tomar como base os vértices A, B e C:
  • Vetor AB = B - A = (3 - 2, -1 - 1, 0 - 1) = (1, -2, -1)
  • Vetor AC = C - A = (4 - 2, 2 - 1, -2 - 1) = (2, 1, -3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AB e AC. O produto vetorial de dois vetores u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) e AB times AC = ((-2)(-3) - (-1)(1), (-1)(2) - (1)(-3), (1)(1) - (-2)(2)) = (6 + 1, -2 + 3, 1 + 4) = (7, 1, 5) é dado por:
Aplicando isso aos vetores AB e AC:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse produto vetorial, que representa o dobro da área do triângulo:
|AB times AC| = raiz7^2 + 1^2 + 5^2 = raiz49 + 1 + 25 = raiz75 = 5raiz3

Passo 6

Como a área do triângulo é metade desse valor, temos:
Área = 12 times 5raiz3 = 5raiz32 Á

Passo 7

Agora, vamos calcular a altura relativa ao vértice C. A altura corresponde à distância do ponto C até a base AB. Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto a uma linha no espaço.
Primeiro, sabemos que a área também pode ser expressa como:
Área = 12 times base times aÁ
Já conhecendo a área e a base (comprimento de AB), podemos resolver para a altura.

Passo 8

Vamos calcular o comprimento do vetor AB:
|AB| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 9

Agora, usando a relação da área:
5raiz32 = 12 times raiz6 times a
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
5raiz3 = raiz6 times a

Passo 10

Agora, isolamos a altura:
a

Resposta

(a) A área do triângulo é unidades de área.
(b) A altura relativa ao vértice é unidades de comprimento.

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