Mostre que se
for um conjunto qualquer, então
é um reticulado com a relação de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que, se
for qualquer conjunto, então o conjunto das partes de
, que a gente escreve como
, forma um reticulado quando usamos a relação de inclusão, ou seja,
. Um reticulado é basicamente um conjunto com uma ordem onde todo par de elementos tem um menor limite comum e um maior limite comum. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a união e a interseção de conjuntos dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um reticulado. Em matemática, um reticulado é um tipo de ordem parcial onde para qualquer dois elementos, existe um menor elemento que é maior que ambos (chamado de união) e um maior elemento que é menor que ambos (chamado de interseção). No nosso caso, os elementos são subconjuntos de
, e a ordem é dada pela inclusão
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que seria a união e a interseção nesse contexto. Dado dois subconjuntos
e
de
:
- A união
é o menor conjunto que contém tanto quanto . - A interseção
é o maior conjunto que está contido em ambos e .
Passo 4
Para mostrar que
é um reticulado, precisamos verificar que para quaisquer dois subconjuntos
e
de
:
- Existe a união
, que será o menor limite superior de e . - Existe a interseção
, que será o maior limite inferior de e .
Passo 5
Primeiro, vamos mostrar que
é realmente o menor limite superior. Por definição,
contém tanto
quanto
, e qualquer outro conjunto que contenha
e
também conterá
. Assim,
é o menor conjunto que contém ambos.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que
é o maior limite inferior.
está contido em ambos
e
, e qualquer outro conjunto que esteja contido em
e
também estará contido em
. Portanto,
é o maior conjunto que está contido em ambos.
Resposta
Assim, demonstramos que
com a relação de inclusão
é um reticulado, pois para quaisquer dois subconjursos
e
, tanto
quanto
existem e satisfazem as propriedades necessárias de união e interseção.
Exercícios relacionados
Sejam os vetores
e
d) É possível escrever como combinação linear de
e
de maneira diferente da encontrada no item anterior? Se sim, exiba algumas.
d) É possível escrever
Seja
.
Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
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Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.