Mostre que se for um conjunto qualquer, então é um reticulado com a relação de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que, se for qualquer conjunto, então o conjunto das partes de , que a gente escreve como , forma um reticulado quando usamos a relação de inclusão, ou seja, . Um reticulado é basicamente um conjunto com uma ordem onde todo par de elementos tem um menor limite comum e um maior limite comum. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a união e a interseção de conjuntos dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um reticulado. Em matemática, um reticulado é um tipo de ordem parcial onde para qualquer dois elementos, existe um menor elemento que é maior que ambos (chamado de união) e um maior elemento que é menor que ambos (chamado de interseção). No nosso caso, os elementos são subconjuntos de , e a ordem é dada pela inclusão .

Passo 3

Agora, vamos ver o que seria a união e a interseção nesse contexto. Dado dois subconjuntos e de :
  • A união é o menor conjunto que contém tanto quanto .
  • A interseção é o maior conjunto que está contido em ambos e .

Passo 4

Para mostrar que é um reticulado, precisamos verificar que para quaisquer dois subconjuntos e de :
  1. Existe a união , que será o menor limite superior de e .
  2. Existe a interseção , que será o maior limite inferior de e .

Passo 5

Primeiro, vamos mostrar que é realmente o menor limite superior. Por definição, contém tanto quanto , e qualquer outro conjunto que contenha e também conterá . Assim, é o menor conjunto que contém ambos.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que é o maior limite inferior. está contido em ambos e , e qualquer outro conjunto que esteja contido em e também estará contido em . Portanto, é o maior conjunto que está contido em ambos.

Resposta

Assim, demonstramos que com a relação de inclusão é um reticulado, pois para quaisquer dois subconjursos e , tanto quanto existem e satisfazem as propriedades necessárias de união e interseção.

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