Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
x^2+y^2+x y+5 raiz2 x+4 raiz2 y+1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida no sistema OXY, identificar que tipo de cônica é essa equação e desenhar o gráfico. A equação que temos é:
x^2 + y^2 + xy + 5 raiz2,x + 4 raiz2,y + 1 = 0
Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre cônicas, como completar o quadrado e rotação de eixos para eliminar o termo xy. Também vamos identificar o gênero da cônica observando os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar o termo xy para simplificar a equação. Isso geralmente é feito através da rotação do sistema de coordenadas. A ideia é girar o sistema de forma que o termo cruzado desapareça.
A fórmula para o ângulo de rotação ( theta) que elimina o termo xy é:
tan(2theta) = CA - B
Onde na nossa equação:
  • A = 1 (coeficiente de x^2)
  • B = 1 (coeficiente de y^2)
  • C = 1 (coeficiente de xy)
Substituindo:
tan(2theta) = 11 - 1 = 10
Isso significa que 2theta = pi2, então theta = pi4 (45 graus).

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com theta = 45^circ. As fórmulas para a rotação são:
x = X costheta - Y sintheta
y = X sintheta + Y costheta
Como theta = 45^circ, temos costheta = sintheta = raiz22. Substituindo:
x = raiz22X - raiz22Y
y = raiz22X + raiz22Y

Passo 4

Vamos substituir x e y na equação original:
(raiz22X - raiz22Y)^2 + (raiz22X + raiz22Y)^2 + (raiz22X - raiz22Y)(raiz22X + raiz22Y) + 5raiz2(raiz22X - raiz22Y) + 4raiz2(raiz22X + raiz22Y) + 1 = 0
Isso parece complicado, mas vamos simplificar cada termo por vez.

Passo 5

Primeiro, expanda os quadrados:
(raiz22X - raiz22Y)^2 = 24X^2 - 2 cdot raiz22X cdot raiz22Y + 24Y^2 = 12X^2 - 12XY + 12Y^2
(raiz22X + raiz22Y)^2 = 12X^2 + 12XY + 12Y^2

Passo 6

Agora, multiplique os termos cruzados:
(raiz22X - raiz22Y)(raiz22X + raiz22Y) = (24X^2 + 0XY - 24Y^2) = 12X^2 - 12Y^2

Passo 7

Agora, substitua tudo de volta na equação original:
(12X^2 - 12XY + 12Y^2) + (12X^2 + 12XY + 12Y^2) + (12X^2 - 12Y^2) + 5raiz2(raiz22X - raiz22Y) + 4raiz2(raiz22X + raiz22Y) + 1 = 0
Simplificando:
12X^2 - 12XY + 12Y^2 + 12X^2 + 12XY + 12Y^2 + 12X^2 - 12Y^2 + 5(X - Y) + 4(X + Y) + 1 = 0

Passo 8

Agora, some os termos semelhantes:
(12X^2 + 12X^2 + 12X^2) + (-12XY + 12XY) + (12Y^2 + 12Y^2 - 12Y^2) + (5X - 5Y) + (4X + 4Y) + 1 = 0
Simplificando:
32X^2 + 0XY + 12Y^2 + 9X - Y + 1 = 0

Passo 9

A equação ficou:
32X^2 + 12Y^2 + 9X - Y + 1 = 0
Vamos simplificar multiplicando tudo por 2 para tirar os denominadores:
3X^2 + Y^2 + 18X - 2Y + 2 = 0

Passo 10

Agora, vamos completar o quadrado para X e Y. Primeiro, reorganize:
3X^2 + 18X + Y^2 - 2Y = -2
Complete o quadrado para X:
Fatorando o coeficiente de X^2:
3(X^2 + 6X) + Y^2 - 2Y = -2
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
X^2 + 6X = (X + 3)^2 - 9
Substituindo:
3((X + 3)^2 - 9) + Y^2 - 2Y = -2
3(X + 3)^2 - 27 + Y^2 - 2Y = -2
Agora, complete o quadrado para Y:
Y^2 - 2Y = (Y - 1)^2 - 1
Substituindo:
3(X + 3)^2 - 27 + (Y - 1)^2 - 1 = -2

Passo 11

Simplificando tudo:
3(X + 3)^2 + (Y - 1)^2 - 28 = -2
3(X + 3)^2 + (Y - 1)^2 = 26
Para deixar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os lados por 26:
(X + 3)^2263 + (Y - 1)^226 = 1

Passo 12

A equação reduzida no sistema OXY é:
(X + 3)^2263 + (Y - 1)^226 = 1
Isso representa uma elipse, pois ambos os termos são positivos e têm sinais iguais.

Resposta

A equação reduzida no sistema OXY é:
(X + 3)^2263 + (Y - 1)^226 = 1
E a cônica representada é uma elipse. O gráfico é uma elipse centrada em (-3, 1), com os eixos alinhados após a rotação de 45 graus em relação ao sistema original.

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