Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida no sistema OXY, identificar que tipo de cônica é essa equação e desenhar o gráfico. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre cônicas, como completar o quadrado e rotação de eixos para eliminar o termo
. Também vamos identificar o gênero da cônica observando os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar eliminar o termo
para simplificar a equação. Isso geralmente é feito através da rotação do sistema de coordenadas. A ideia é girar o sistema de forma que o termo cruzado desapareça.
A fórmula para o ângulo de rotação (
) que elimina o termo
é:
Onde na nossa equação:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Substituindo:
Isso significa que
, então
(45 graus).
Passo 3
Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com
. As fórmulas para a rotação são:
Como
, temos
. Substituindo:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar cada termo por vez.
Passo 5
Primeiro, expanda os quadrados:
Passo 6
Agora, multiplique os termos cruzados:
Passo 7
Agora, substitua tudo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, some os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
A equação ficou:
Vamos simplificar multiplicando tudo por 2 para tirar os denominadores:
Passo 10
Agora, vamos completar o quadrado para
e
. Primeiro, reorganize:
Complete o quadrado para
:
Fatorando o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Agora, complete o quadrado para
:
Substituindo:
Passo 11
Simplificando tudo:
Para deixar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os lados por 26:
Passo 12
A equação reduzida no sistema OXY é:
Isso representa uma elipse, pois ambos os termos são positivos e têm sinais iguais.
Resposta
A equação reduzida no sistema OXY é:
E a cônica representada é uma elipse. O gráfico é uma elipse centrada em
, com os eixos alinhados após a rotação de 45 graus em relação ao sistema original.
Exercícios relacionados
a)
, onde
.
Sejam
e
. Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
b) O conjunto é LI.
b) O conjunto
Sejam os vetores
e
.
a) É possível escrever o vetor como combinação linear de
e
?
a) É possível escrever o vetor
Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.