Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida no sistema OXY, identificar que tipo de cônica é essa equação e desenhar o gráfico. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre cônicas, como completar o quadrado e rotação de eixos para eliminar o termo . Também vamos identificar o gênero da cônica observando os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar o termo para simplificar a equação. Isso geralmente é feito através da rotação do sistema de coordenadas. A ideia é girar o sistema de forma que o termo cruzado desapareça.
A fórmula para o ângulo de rotação ( ) que elimina o termo é:
Onde na nossa equação:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Substituindo:
Isso significa que , então (45 graus).

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com . As fórmulas para a rotação são:
Como , temos . Substituindo:

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar cada termo por vez.

Passo 5

Primeiro, expanda os quadrados:

Passo 6

Agora, multiplique os termos cruzados:

Passo 7

Agora, substitua tudo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, some os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

A equação ficou:
Vamos simplificar multiplicando tudo por 2 para tirar os denominadores:

Passo 10

Agora, vamos completar o quadrado para e . Primeiro, reorganize:
Complete o quadrado para :
Fatorando o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Agora, complete o quadrado para :
Substituindo:

Passo 11

Simplificando tudo:
Para deixar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os lados por 26:

Passo 12

A equação reduzida no sistema OXY é:
Isso representa uma elipse, pois ambos os termos são positivos e têm sinais iguais.

Resposta

A equação reduzida no sistema OXY é:
E a cônica representada é uma elipse. O gráfico é uma elipse centrada em , com os eixos alinhados após a rotação de 45 graus em relação ao sistema original.

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