Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação reduzida em relação ao sistema de coordenadas XOY e identificar qual tipo de cônica está representada pela equação dada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, focando em como manipular equações de segundo grau para identificar as cônicas (como circunferências, parábolas, elipses e hipérboles).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar o trabalho:
Nossa meta é simplificar essa equação para uma forma padrão, o que nos permitirá identificar o tipo de cônica e esboçar seu gráfico.
Passo 3
Vamos organizar os termos:
Observamos que há termos mistos, como o
, o que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para eliminar o termo
, vamos usar uma rotação de eixos.
Passo 4
A rotação dos eixos é uma técnica que transforma a equação para eliminar o termo
. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Onde:
Vamos calcular:
Então:
Passo 5
Com o ângulo
encontrado, aplicamos a fórmula de rotação:
Substituímos essas expressões na equação original e simplificamos para obter a equação reduzida sem o termo
.
Passo 6
Após a substituição e simplificação, chegamos a uma equação sem o termo
, que geralmente tem a forma de uma elipse, parábola ou hipérbole. Observando os coeficientes dos termos quadráticos, podemos identificar o tipo de cônica.
Passo 7
Analisando os coeficientes, vemos que todos são positivos após a rotação, o que indica que a cônica é uma elipse.
Passo 8
Com a equação reduzida em mãos e sabendo que é uma elipse, podemos identificar o centro, os eixos e desenhar o gráfico dessa elipse no sistema de coordenadas original.
Resposta
A equação reduzida em relação ao sistema XOY é uma elipse. O gráfico da cônica é uma elipse rotacionada em relação aos eixos coordenados.
Exercícios relacionados
Sejam os vetores
e
.
a) É possível escrever o vetor como combinação linear de
e
?
a) É possível escrever o vetor
Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
f)
f)
Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.