Sejam os vetores u=(3,-1) e v=(-6,2).
a) É possível escrever o vetor w=(5,-4) como combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre vetores: temos os vetores e . A gente quer saber se dá pra escrever o vetor como uma combinação linear desses dois vetores. Isso quer dizer que precisamos encontrar números (chamados de escalares) que, quando multiplicados por e e somados, resultem em . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e ver se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear: a cdot (3, -1) + b cdot (-6, 2) = (5, -4) . Substituindo os vetores, fica:
3a - 6b = 5 (1)
Isso nos dá duas equações:
-1a + 2b = -4 (2)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira fácil é usar o método da multiplicação cruzada para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar:
-3a + 6b = -12 (3)

Passo 4

Agora, somamos a equação (1) com a equação (3):
(3a - 6b) + (-3a + 6b) = 5 + (-12)
0a + 0b = -7
Isso resulta em:
0 = -7
O que é uma afirmação falsa.

Passo 5

Quando a gente chega a uma equação impossível como , significa que não existe nenhum par de números e que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, não dá pra escrever como combinação linear de e .

Resposta

Não, não é possível escrever o vetor como combinação linear dos vetores e .

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