Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
f) (1,-1,3),(-1,1,0),(2,3,1 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Se for LD, a gente também vai escrever um dos vetores como uma combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mas vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se for possível escrever pelo menos um vetor como combinação dos outros, então o conjunto é Linearmente Dependente.
Para verificar isso, podemos montar um sistema de equações onde uma combinação linear desses vetores iguala ao vetor zero. Se a única solução for todos os coeficientes iguais a zero, os vetores são LI. Caso contrário, são LD.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações. Seja c1(1, -1, 3) + c2(-1, 1, 0) + c3(2, 3, 13) = (0, 0, 0) , c1 - c2 + 2c3 = 0 - c1 + c2 + 3c3 = 0 3c1 + 0c2 + 13c3 = 0 e os coeficientes das combinações lineares dos vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução não trivial (ou seja, , , diferentes de zero).

Passo 4

Podemos resolver o sistema usando métodos de substituição ou igualdade. Vamos simplificar a terceira equação primeiro:
3c1 + 13c3 = 0 Rightarrow c3 = -9c1
Agora, substituímos -17c1 - c2 = 0 -28c1 + c2 = 0 nas duas primeiras equações:
  1. -17c1 - c2 -28c1 + c2 = 0 Rightarrow -45c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
  2. -28(0) + c2 = 0 Rightarrow c2 = 0
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
E, como já temos , então de também temos .

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os vetores são Linearmente Independentes (LI).

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