Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Se for LD, a gente também vai escrever um dos vetores como uma combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mas vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se for possível escrever pelo menos um vetor como combinação dos outros, então o conjunto é Linearmente Dependente.
Para verificar isso, podemos montar um sistema de equações onde uma combinação linear desses vetores iguala ao vetor zero. Se a única solução for todos os coeficientes iguais a zero, os vetores são LI. Caso contrário, são LD.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações. Seja , e os coeficientes das combinações lineares dos vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução não trivial (ou seja, , , diferentes de zero).
Passo 4
Podemos resolver o sistema usando métodos de substituição ou igualdade. Vamos simplificar a terceira equação primeiro:
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
E, como já temos , então de também temos .
Resposta
Como a única solução para o sistema é , os vetores são Linearmente Independentes (LI).