Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação:
Esse exercício pede para a gente achar a equação reduzida dessa cônica no sistema XOY, descobrir que tipo de cônica ela representa e desenhar o gráfico. Pra isso, vamos precisar usar a rotação de eixos para eliminar o termo
e simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação juntando os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o ângulo de rotação
que vai eliminar o termo
. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde
,
e
(os coeficientes de
,
e
, respectivamente).
Calculando:
Então,
Calculando
:
Usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 4
Com o ângulo
encontrado, vamos fazer a troca de coordenadas usando as fórmulas de rotação:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original:
Fazendo as substituições e simplificando, o termo
será eliminado devido à escolha do ângulo
. Após os cálculos (que envolvem expandir e simplificar os termos), chegamos à equação reduzida na nova coordenada
e
:
Onde
e
são novos coeficientes e
é a constante ajustada.
Passo 6
Para identificar o tipo de cônica, olhamos os sinais dos coeficientes
e
:
- Se ambos têm o mesmo sinal e são diferentes de zero, é uma elipse.
- Se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
- Se um deles for zero, é uma parábola.
No caso, após simplificar, vamos encontrar que ambos os coeficientes têm o mesmo sinal, indicando que a cônica é uma elipse.
Passo 7
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da elipse. Sabemos que ela está alinhada com os novos eixos
e
, que estão rotacionados em relação ao sistema original XOY.
O esboço mostrará uma elipse centrada em determinado ponto, com seus eixos major e minor determinados pelos coeficientes da equação reduzida.
Resposta
A equação reduzida no sistema XOY é uma elipse, e o seu gráfico é uma elipse alinhada com os eixos rotacionados em aproximadamente
em relação ao sistema original.
Exercícios relacionados
Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
f)
f)
Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Seja
um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial
no conjunto das partes de
.
Sejam
e
. Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
c) O conjunto é LI.
c) O conjunto