Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação:
Esse exercício pede para a gente achar a equação reduzida dessa cônica no sistema XOY, descobrir que tipo de cônica ela representa e desenhar o gráfico. Pra isso, vamos precisar usar a rotação de eixos para eliminar o termo
e simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação juntando os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o ângulo de rotação
que vai eliminar o termo
. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde
,
e
(os coeficientes de
,
e
, respectivamente).
Calculando:
Então,
Calculando
:
Usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 4
Com o ângulo
encontrado, vamos fazer a troca de coordenadas usando as fórmulas de rotação:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original:
Fazendo as substituições e simplificando, o termo
será eliminado devido à escolha do ângulo
. Após os cálculos (que envolvem expandir e simplificar os termos), chegamos à equação reduzida na nova coordenada
e
:
Onde
e
são novos coeficientes e
é a constante ajustada.
Passo 6
Para identificar o tipo de cônica, olhamos os sinais dos coeficientes
e
:
- Se ambos têm o mesmo sinal e são diferentes de zero, é uma elipse.
- Se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
- Se um deles for zero, é uma parábola.
No caso, após simplificar, vamos encontrar que ambos os coeficientes têm o mesmo sinal, indicando que a cônica é uma elipse.
Passo 7
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da elipse. Sabemos que ela está alinhada com os novos eixos
e
, que estão rotacionados em relação ao sistema original XOY.
O esboço mostrará uma elipse centrada em determinado ponto, com seus eixos major e minor determinados pelos coeficientes da equação reduzida.
Resposta
A equação reduzida no sistema XOY é uma elipse, e o seu gráfico é uma elipse alinhada com os eixos rotacionados em aproximadamente
em relação ao sistema original.