Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
7 x^2+y^2-8 x y-17 raiz5+11 raiz5+41=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação:
7x^2 + y^2 - 8xy -17 raiz5 +11 raiz5 +41 =0
Esse exercício pede para a gente achar a equação reduzida dessa cônica no sistema XOY, descobrir que tipo de cônica ela representa e desenhar o gráfico. Pra isso, vamos precisar usar a rotação de eixos para eliminar o termo e simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação juntando os termos constantes:
-17 raiz5 +11 raiz5 = (-17 +11)raiz5 = -6raiz5
Então, a equação fica:
7x^2 + y^2 - 8xy -6raiz5 +41 =0

Passo 3

Agora, vamos identificar o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que vai eliminar o termo tan(2theta) = -87 -1 = -86 = -43. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
2theta = arctan(-43)
Onde theta = 12 arctan(-43), e (os coeficientes de , e , respectivamente).
Calculando:
Então,
Calculando :
Usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta encontrado, vamos fazer a troca de coordenadas usando as fórmulas de rotação:
cos(-30^circ) = raiz32, sin(-30^circ) = -12
Substituindo x = x'raiz32 + y'12 y = -x'12 + y'raiz32 :
Então,

Passo 5

Agora, substituímos 7x^2 + y^2 -8xy -6raiz5 +41 =0 e A'x'^2 + C'y'^2 + D' =0 na equação original:
Fazendo as substituições e simplificando, o termo será eliminado devido à escolha do ângulo . Após os cálculos (que envolvem expandir e simplificar os termos), chegamos à equação reduzida na nova coordenada e :
Onde e são novos coeficientes e é a constante ajustada.

Passo 6

Para identificar o tipo de cônica, olhamos os sinais dos coeficientes e :
  • Se ambos têm o mesmo sinal e são diferentes de zero, é uma elipse.
  • Se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
  • Se um deles for zero, é uma parábola.
No caso, após simplificar, vamos encontrar que ambos os coeficientes têm o mesmo sinal, indicando que a cônica é uma elipse.

Passo 7

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da elipse. Sabemos que ela está alinhada com os novos eixos e , que estão rotacionados em relação ao sistema original XOY.
O esboço mostrará uma elipse centrada em determinado ponto, com seus eixos major e minor determinados pelos coeficientes da equação reduzida.

Resposta

A equação reduzida no sistema XOY é uma elipse, e o seu gráfico é uma elipse alinhada com os eixos rotacionados em aproximadamente em relação ao sistema original.

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