Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
c) O conjunto v1, v2, v3 é LI.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores v1, v2, v3 e precisamos determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI). Para isso, vamos utilizar os conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente? Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor nulo 0 é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se a equação
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
só tem a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear dos vetores e igualar a zero:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0

Passo 4

Substituindo os vetores dados:
c1(0, 0, 0) + c2(-1, 0, 2) + c3(-1, 1, 2) = (0, 0, 0)
Isso simplifica para:
( -c2 - c3, 0 + c3, 2c2 + 2c3 ) = (0, 0, 0)

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
-c2 - c3 = 0 c3 = 0 2c2 + 2c3 = 0
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: c3 = 0.
  2. Substituindo c3 = 0 na primeira equação: -c2 = 0 Rightarrow c2 = 0.
  3. Substituindo c2 = 0 e c3 = 0 na terceira equação: 0 = 0 (não nos dá nova informação).

Passo 6

Observamos que a única solução para o sistema é c1 pode ser qualquer valor (já que v1 é o vetor nulo, seu coeficiente não afeta a combinação), mas para c2 e c3, necessariamente c2 = c3 = 0. Isso significa que existe uma solução não trivial (onde c1 pode ser diferente de zero) que satisfaz a equação.

Passo 7

Como existe uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 que resulta no vetor nulo sem que todos os coeficientes sejam zero, concluímos que o conjunto v1, v2, v3 não é linearmente independente.

Resposta

Falsa. O conjunto v1, v2, v3 não é linearmente independente.

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