Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
c) O conjunto é LI.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI). Para isso, vamos utilizar os conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente? Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor nulo é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se a equação
só tem a solução trivial , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear dos vetores e igualar a zero:

Passo 4

Substituindo os vetores dados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: (não nos dá nova informação).

Passo 6

Observamos que a única solução para o sistema é pode ser qualquer valor (já que é o vetor nulo, seu coeficiente não afeta a combinação), mas para e , necessariamente . Isso significa que existe uma solução não trivial (onde pode ser diferente de zero) que satisfaz a equação.

Passo 7

Como existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta no vetor nulo sem que todos os coeficientes sejam zero, concluímos que o conjunto não é linearmente independente.

Resposta

Falsa. O conjunto não é linearmente independente.

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