Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
c) O conjunto é LI.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI). Para isso, vamos utilizar os conceitos de combinação linear e dependência linear.
Passo 2
O que significa ser linearmente independente? Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor nulo é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em outras palavras, se a equação
só tem a solução trivial , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear dos vetores e igualar a zero:
Passo 4
Substituindo os vetores dados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo e na terceira equação: (não nos dá nova informação).
Passo 6
Observamos que a única solução para o sistema é pode ser qualquer valor (já que é o vetor nulo, seu coeficiente não afeta a combinação), mas para e , necessariamente . Isso significa que existe uma solução não trivial (onde pode ser diferente de zero) que satisfaz a equação.
Passo 7
Como existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta no vetor nulo sem que todos os coeficientes sejam zero, concluímos que o conjunto não é linearmente independente.