Determinar a equação de uma reta
que é tangente à curva
e passa na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta
que seja tangente à curva dada por
para
e que passe pela origem (0,0). Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva dada. A curva é parametrizada por
, onde as coordenadas
e
são funções de
:
Queremos encontrar um ponto nessa curva onde a reta tangente passa pela origem.
Passo 3
Para achar a reta tangente, precisamos da inclinação da curva nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá a inclinação da tangente. Usando a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos
e
:
Então,
Passo 4
Agora, sabemos que a equação da reta tangente no ponto
tem a forma:
Queremos que essa reta passe pela origem
. Vamos substituir
e
na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 8
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta
é
.
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