Determinar a equação de uma reta s que é tangente à curva
r(t) = (t, 1/(t-1)), t<1 e passa na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que seja tangente à curva dada por para e que passe pela origem (0,0). Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva dada. A curva é parametrizada por , onde as coordenadas e são funções de :
Queremos encontrar um ponto nessa curva onde a reta tangente passa pela origem.

Passo 3

Para achar a reta tangente, precisamos da inclinação da curva nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da tangente. Usando a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos e :
Então,

Passo 4

Agora, sabemos que a equação da reta tangente no ponto tem a forma:
Queremos que essa reta passe pela origem . Vamos substituir e na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação para :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 8

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta é .

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