Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a função inversa da função
, além de descobrir o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções e suas inversas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a inversa “desfaz” o que a função original faz. Se a gente tem
, a inversa será
tal que
.
Passo 3
Para encontrar a inversa, vamos seguir alguns passos simples. Vamos começar substituindo
por
:
Passo 4
Agora, vamos trocar
por
e vice-versa. Isso ajuda a resolver para
, que será a nossa função inversa:
Passo 5
Em seguida, vamos isolar
para encontrar a expressão da inversa. Primeiro, subtraímos 3 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, dividimos ambos os lados por -2 para resolver
:
Isso pode ser simplificado para:
Então, a função inversa é:
Passo 7
Vamos verificar se essa é realmente a inversa. Substituindo
em
:
Confirma que está tudo certo!
Passo 8
Agora, vamos falar sobre o domínio e a imagem da função original
.
Como a função é uma função linear (uma reta), ela está definida para todo valor de
. Portanto:
- Domínio:
(todos os números reais)
E como uma reta continua sobe ou desce sem limites, a imagem também cobre todos os números reais:
- Imagem:
(todos os números reais)
Resposta
A função inversa é
. O domínio de
é todos os números reais (
) e a imagem também é todos os números reais (
).
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Determinar a equação de uma reta
que é tangente à curva
e passa na origem.
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.