Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = -2x + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a função inversa da função , além de descobrir o domínio e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções e suas inversas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a inversa “desfaz” o que a função original faz. Se a gente tem , a inversa será tal que .

Passo 3

Para encontrar a inversa, vamos seguir alguns passos simples. Vamos começar substituindo por :

Passo 4

Agora, vamos trocar por e vice-versa. Isso ajuda a resolver para , que será a nossa função inversa:

Passo 5

Em seguida, vamos isolar para encontrar a expressão da inversa. Primeiro, subtraímos 3 de ambos os lados:

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por -2 para resolver :
Isso pode ser simplificado para:
Então, a função inversa é:

Passo 7

Vamos verificar se essa é realmente a inversa. Substituindo em :
Confirma que está tudo certo!

Passo 8

Agora, vamos falar sobre o domínio e a imagem da função original .
Como a função é uma função linear (uma reta), ela está definida para todo valor de . Portanto:
  • Domínio: (todos os números reais)
E como uma reta continua sobe ou desce sem limites, a imagem também cobre todos os números reais:
  • Imagem: (todos os números reais)

Resposta

A função inversa é . O domínio de é todos os números reais ( ) e a imagem também é todos os números reais ( ).

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