Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
. A questão pede pra gente encontrar o maior domínio possível onde essa função tem inversa, depois escrever a expressão dessa inversa, e também determinar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos usar conceitos de funções e inversas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra função ter uma inversa, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor de
deve corresponder a um único valor de
. A função
é uma parábola que abre pra cima, então ela não é injetora se considerarmos todos os números reais, porque cada valor de
acima de 1 tem dois correspondentes valores de
(um positivo e um negativo).
Passo 3
Pra tornar a função injetora, a gente precisa restrição o domínio. Isso significa que vamos escolher apenas uma parte da parábola, seja o ramo direito (onde
) ou o ramo esquerdo (onde
).
Vamos escolher o ramo direito, ou seja, vamos definir o domínio como
. Assim, a função passa a ser injetora e podemos encontrar a inversa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inversa da função. Para isso, substituímos
por
e resolvemos para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Como restringimos
, não precisamos nos preocupar com a raiz negativa. Então, a inversa é:
Passo 5
Vamos agora determinar o domínio e a imagem da inversa.
-
Domínio da inversa: É o conjunto de valores de
para os quais está definido. Da expressão , sabemos que , ou seja, . -
Imagem da inversa: É o conjunto de valores que
pode assumir. Como estamos usando a raiz quadrada e , será sempre .
Resposta
- Maior domínio para que a inversa exista:
- Expressão da inversa:
- Domínio da inversa:
- Imagem da inversa:
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que é tangente à curva
e passa na origem.
Quanto vale
?
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.