Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = x^2 + 1

Passo 1

Beleza! A gente tem a função . A questão pede pra gente encontrar o maior domínio possível onde essa função tem inversa, depois escrever a expressão dessa inversa, e também determinar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos usar conceitos de funções e inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra função ter uma inversa, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor de deve corresponder a um único valor de . A função é uma parábola que abre pra cima, então ela não é injetora se considerarmos todos os números reais, porque cada valor de acima de 1 tem dois correspondentes valores de (um positivo e um negativo).

Passo 3

Pra tornar a função injetora, a gente precisa restrição o domínio. Isso significa que vamos escolher apenas uma parte da parábola, seja o ramo direito (onde ) ou o ramo esquerdo (onde ).
Vamos escolher o ramo direito, ou seja, vamos definir o domínio como . Assim, a função passa a ser injetora e podemos encontrar a inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa da função. Para isso, substituímos por e resolvemos para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Como restringimos , não precisamos nos preocupar com a raiz negativa. Então, a inversa é:

Passo 5

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da inversa.
  • Domínio da inversa: É o conjunto de valores de para os quais está definido. Da expressão , sabemos que , ou seja, .
  • Imagem da inversa: É o conjunto de valores que pode assumir. Como estamos usando a raiz quadrada e , será sempre .

Resposta

  • Maior domínio para que a inversa exista:
  • Expressão da inversa:
  • Domínio da inversa:
  • Imagem da inversa:

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