Quanto vale P(U <= 1/2, V > 1/2) ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta: “Quanto vale ?”. Este problema está na área de probabilidade, especificamente lidando com probabilidades conjuntas de duas variáveis aleatórias, e . Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de eventos simultâneos usando a representação gráfica das variáveis uniformes.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que e são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo . Isso significa que cada uma delas pode assumir qualquer valor entre 0 e 1 com a mesma probabilidade.

Passo 3

A probabilidade conjunta representa a chance de que seja menor ou igual a e simultaneamente seja maior que . Para visualizar isso, podemos desenhar um quadrado unitário no plano, onde o eixo horizontal representa e o eixo vertical representa .

Passo 4

Dentro desse quadrado, o evento corresponde à metade esquerda do quadrado, e corresponde à metade superior. A área que satisfaz ambos os eventos é o retângulo que fica na interseção dessas duas regiões.

Passo 5

Vamos calcular essa área. Como cada lado do quadrado tem comprimento 1, a área do retângulo onde e é:
Á

Resposta

A probabilidade vale .

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