Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^3 - 4*x^2 + 1 no ponto de abscissa x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 1. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , ou seja, calcular o valor da função quando . Isso nos dará a ordenada do ponto de tangência.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea da função em cada ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos calcular o valor da derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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