Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra determinar se a afirmação sobre a integral
é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui são as funções pares e ímpares e suas propriedades em integrais simétricas. Vamos precisar verificar se a função dentro da integral é par ou ímpar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
- Função par:
. A integral de uma função par de a é duas vezes a integral de a . - Função ímpar:
. A integral de uma função ímpar de a é zero.
Passo 3
Vamos analisar cada termo da função dentro da integral:
-
: - Se substituirmos
, temos . Então, é uma função ímpar.
- Se substituirmos
-
: - Substituindo
, temos . Então, também é uma função ímpar.
- Substituindo
-
: - Sabemos que
(função ímpar) e (função par). Então, é uma função ímpar dividida por uma função par, o que resulta em uma função ímpar.
- Sabemos que
Passo 4
Como todos os termos
,
e
são funções ímpares, a soma deles também será uma função ímpar.
Passo 5
Sabendo que a integral de uma função ímpar de
a
é sempre zero, concluímos que:
é uma afirmação verdadeira.
Resposta
Verdadeira. A função integranda é ímpar, e a integral de uma função ímpar de
a
é zero.