Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-1^1(x^5-6 x^9+sen x(1+x^4)^2) d x=0

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra determinar se a afirmação sobre a integral
integral-1^1(x^5-6 x^9+sin x(1+x^4)^2) dx = 0
é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui são as funções pares e ímpares e suas propriedades em integrais simétricas. Vamos precisar verificar se a função dentro da integral é par ou ímpar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função par: . A integral de uma função par de a é duas vezes a integral de a .
  • Função ímpar: . A integral de uma função ímpar de a é zero.

Passo 3

Vamos analisar cada termo da função dentro da integral:
  1. :
    • Se substituirmos , temos . Então, é uma função ímpar.
  2. :
    • Substituindo , temos . Então, também é uma função ímpar.
  3. :
    • Sabemos que (função ímpar) e (função par). Então, é uma função ímpar dividida por uma função par, o que resulta em uma função ímpar.

Passo 4

Como todos os termos , e são funções ímpares, a soma deles também será uma função ímpar.

Passo 5

Sabendo que a integral de uma função ímpar de integral-1^1(x^5-6 x^9+sin x(1+x^4)^2) dx = 0 a é sempre zero, concluímos que:
é uma afirmação verdadeira.

Resposta

Verdadeira. A função integranda é ímpar, e a integral de uma função ímpar de a é zero.

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