Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos a região limitada pelas curvas
e
. Além disso, temos que decidir se vamos integrar em relação a
ou
, desenhar um retângulo representativo com altura e largura, e finalmente calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos decidir se vamos integrar em relação a
ou
. Olhando para as curvas, é mais fácil integrar em relação a
porque cada valor de
entre 0 e 2 tem apenas um valor correspondente de
em cada curva. Isso simplifica a identificação da função superior e inferior.
Passo 4
Vamos desenhar um retângulo típico na região. A largura do retângulo será um pequeno intervalo de
, que chamaremos de
. A altura será a diferença entre as duas funções
e
:
Passo 5
Para calcular a área da região, vamos integrar a altura do retângulo desde
até
:
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em
, então
Se
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em
e
, então