Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos a região limitada pelas curvas e . Além disso, temos que decidir se vamos integrar em relação a ou , desenhar um retângulo representativo com altura e largura, e finalmente calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos decidir se vamos integrar em relação a ou . Olhando para as curvas, é mais fácil integrar em relação a porque cada valor de entre 0 e 2 tem apenas um valor correspondente de em cada curva. Isso simplifica a identificação da função superior e inferior.

Passo 4

Vamos desenhar um retângulo típico na região. A largura do retângulo será um pequeno intervalo de , que chamaremos de . A altura será a diferença entre as duas funções e :

Passo 5

Para calcular a área da região, vamos integrar a altura do retângulo desde até :
Á
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em , então
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em e , então