Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-2^1 1x^4 d x=-38

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação
integral-2^1 1x^4 , dx = -38
é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função no intervalo de -2 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (desde que n neq -1) . Essa função pode ser reescrita como integral x^-4 , dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C . Integrar significa achar uma antiderivada dessa função.
A regra de integração para potências de é:
Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida de -2 a 1 usando a antiderivada que encontramos:
integral-2^1 1x^4 , dx = [ -13x^3 ]-2^1
Isso significa que vamos substituir os limites de integração na antiderivada:
= ( -13(1)^3 ) - ( -13(-2)^3 ) = -13 - ( -1-24 )
Simplificando:
= -13 - ( 124 ) = -824 - 124 = -924 = -38

Passo 4

Mas peraí! Precisamos prestar atenção especial aqui. A função integral-2^1 1x^4 , dx = integral-2^0 1x^4 , dx + integral0^1 1x^4 , dx tem um problema no ponto lima to 0^- integral-2^a 1x^4 , dx = lima to 0^- [ -13x^3 ]-2^a = lima to 0^- ( -13a^3 + 124 ) , porque não está definida lá. Isso significa que estamos lidando com uma integral imprópria.
Para tratar integrais impróprias, a gente divide a integral em duas partes:
limb to 0^+ integralb^1 1x^4 , dx = limb to 0^+ [ -13x^3 ]b^1 = limb to 0^+ ( -13 + 13b^3 )
Cada uma dessas integrais precisa ser avaliada como um limite, porque estamos aproximando de 0.
Vamos calcular cada parte:
  1. De -2 a 0:
Quando se aproxima de 0 pelo lado negativo, também se aproxima de 0, e vai para .
  1. De 0 a 1:
Aqui, quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, vai para .

Passo 5

Ao juntar as duas partes, vemos que ambas as integrais tendem para integral-2^1 1x^4 , dx = -38 . Isso significa que a integral original não converge para um valor finito, mas sim para .
Portanto, a afirmação
não está correta.

Resposta

A afirmação é falsa. A integral não converge para porque a função é indefinida em e a integral tende para . Portanto, a igualdade apresentada está incorreta.

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