Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f^prime for contínua em [a, b] e f(x) >= 0, então
integrala^b raizf(x1) d x <= raizintegrala^b f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão nos dá uma função integrala^b raizf(x) , dx <= raizintegrala^b f(x) , dx que tem derivada contínua no intervalo e que para todo nesse intervalo. Queremos saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e desigualdades envolvendo integrais. Vamos analisar se essa relação é sempre verdadeira ou existe algum caso em que ela não se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma ferramenta importante que pode nos ajudar aqui: a Desigualdade de Jensen. Essa desigualdade é útil quando lidamos com funções convexas ou côncavas e integrais.
A função 1b - a integrala^b raizf(x) , dx <= raiz 1b - a integrala^b f(x) , dx é concava no seu domínio integrala^b raizf(x) , dx <= raiz(b - a) cdot raiz integrala^b f(x) , dx . A Desigualdade de Jensen para funções côncavas diz que:
integrala^b raizf(x) , dx <= raiz integrala^b f(x) , dx
Multiplicando ambos os lados por integrala^b raizf(x) , dx <= raiz(b - a) cdot raiz integrala^b f(x) , dx , obtemos:
Comparando isso com a afirmação do enunciado, percebemos que está faltando o fator no lado direito. Ou seja, a desigualdade do enunciado é:
Enquanto a Desigualdade de Jensen nos dá:
Isso sugere que a afirmação original pode não ser sempre verdadeira, já que falta o .

Passo 3

Vamos testar com um exemplo simples para ver se a afirmação do enunciado é válida. Considere a função constante integrala^b raizf(x) , dx = integrala^b raizc , dx = raizc cdot (b - a) , onde raiz integrala^b f(x) , dx = raiz integrala^b c , dx = raizc cdot (b - a) , no intervalo raizc cdot (b - a) <= raizc cdot (b - a) implies raizc cdot (b - a) <= raizc cdot raizb - a .
Calculando o lado esquerdo:
(b - a) <= raizb - a
Calculando o lado direito:
Comparando os dois lados:
Dividindo ambos os lados por (como ):
Isso só é possível se . Se , temos que , o que viola a desigualdade. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo intervalo .

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se integrala^b raizf(x) , dx = raizc cdot (b - a) > raizc cdot (b - a) = raiz integrala^b f(x) , dx com e o intervalo tiver comprimento maior que 1, então:
Isso mostra que a desigualdade não se mantém para intervalos maiores que 1, confirmando que a afirmação original é falsa.

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