Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em e , então

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão nos dá uma função que tem derivada contínua no intervalo e que para todo nesse intervalo. Queremos saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e desigualdades envolvendo integrais. Vamos analisar se essa relação é sempre verdadeira ou existe algum caso em que ela não se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma ferramenta importante que pode nos ajudar aqui: a Desigualdade de Jensen. Essa desigualdade é útil quando lidamos com funções convexas ou côncavas e integrais.
A função é concava no seu domínio . A Desigualdade de Jensen para funções côncavas diz que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Comparando isso com a afirmação do enunciado, percebemos que está faltando o fator no lado direito. Ou seja, a desigualdade do enunciado é:
Enquanto a Desigualdade de Jensen nos dá:
Isso sugere que a afirmação original pode não ser sempre verdadeira, já que falta o .

Passo 3

Vamos testar com um exemplo simples para ver se a afirmação do enunciado é válida. Considere a função constante , onde , no intervalo .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Comparando os dois lados:
Dividindo ambos os lados por (como ):
Isso só é possível se . Se , temos que , o que viola a desigualdade. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo intervalo .

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se com e o intervalo tiver comprimento maior que 1, então:
Isso mostra que a desigualdade não se mantém para intervalos maiores que 1, confirmando que a afirmação original é falsa.

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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em , então