Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em
e
, então
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão nos dá uma função
que tem derivada contínua no intervalo
e que
para todo
nesse intervalo. Queremos saber se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e desigualdades envolvendo integrais. Vamos analisar se essa relação é sempre verdadeira ou existe algum caso em que ela não se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma ferramenta importante que pode nos ajudar aqui: a Desigualdade de Jensen. Essa desigualdade é útil quando lidamos com funções convexas ou côncavas e integrais.
A função
é concava no seu domínio
. A Desigualdade de Jensen para funções côncavas diz que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Comparando isso com a afirmação do enunciado, percebemos que está faltando o fator
no lado direito. Ou seja, a desigualdade do enunciado é:
Enquanto a Desigualdade de Jensen nos dá:
Isso sugere que a afirmação original pode não ser sempre verdadeira, já que falta o
.
Passo 3
Vamos testar com um exemplo simples para ver se a afirmação do enunciado é válida. Considere a função constante
, onde
, no intervalo
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Comparando os dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(como
):
Isso só é possível se
. Se
, temos que
, o que viola a desigualdade. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo intervalo
.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
com
e o intervalo
tiver comprimento maior que 1, então:
Isso mostra que a desigualdade não se mantém para intervalos maiores que 1, confirmando que a afirmação original é falsa.
Exercícios relacionados
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se for contínua em
, então
Se