Se
é um zero da função
e um pólo da função
, de ordens
e
, respectivamente. Sob quais condições
é um zero, e um pólo da função
; e em cada caso suas respectivas ordens.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre duas funções,
e
, onde em um ponto
,
tem um zero de ordem
e
tem um pólo de ordem
. Nosso objetivo é descobrir quando
será um zero ou um pólo da função
, e qual será a ordem em cada caso. Para resolver isso, vamos lembrar o que são zeros e pólos, e como eles se comportam quando multiplicamos funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar:
-
Zero de ordem
: Significa que pode ser escrito como , onde é uma função que não zera em . -
Pólo de ordem
: Significa que pode ser escrito como , onde não zera em .
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
e
:
Passo 4
Analisando o termo
:
-
Se
: Isso significa que temos elevado a uma potência positiva, ou seja, um zero de ordem . -
Se
: Aqui, temos elevado a uma potência negativa, o que representa um pólo de ordem . -
Se
: O termo , então nem zero nem pólo.
Passo 5
Portanto, as condições para
ser:
-
Zero de
: Quando , com ordem . -
Pólo de
: Quando , com ordem . -
Nem zero nem pólo: Quando
.
Resposta
O ponto
é:
-
Um zero da função
se a ordem do zero de for maior que a ordem do pólo de ( ), sendo a ordem do zero igual a . -
Um pólo da função
se a ordem do pólo de for maior que a ordem do zero de ( ), sendo a ordem do pólo igual a . -
Nem zero nem pólo se as ordens forem iguais (
).