Se z = z0 é um zero da função f e um pólo da função g, de ordens r e s, respectivamente. Sob quais condições z0 é um zero, e um pólo da função f g; e em cada caso suas respectivas ordens.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre duas funções, e , onde em um ponto , tem um zero de ordem e tem um pólo de ordem . Nosso objetivo é descobrir quando será um zero ou um pólo da função , e qual será a ordem em cada caso. Para resolver isso, vamos lembrar o que são zeros e pólos, e como eles se comportam quando multiplicamos funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar:
  • Zero de ordem : Significa que pode ser escrito como , onde é uma função que não zera em .
  • Pólo de ordem : Significa que pode ser escrito como , onde não zera em .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar e :

Passo 4

Analisando o termo :
  • Se : Isso significa que temos elevado a uma potência positiva, ou seja, um zero de ordem .
  • Se : Aqui, temos elevado a uma potência negativa, o que representa um pólo de ordem .
  • Se : O termo , então nem zero nem pólo.

Passo 5

Portanto, as condições para ser:
  • Zero de : Quando , com ordem .
  • Pólo de : Quando , com ordem .
  • Nem zero nem pólo: Quando .

Resposta

O ponto é:
  • Um zero da função se a ordem do zero de for maior que a ordem do pólo de ( ), sendo a ordem do zero igual a .
  • Um pólo da função se a ordem do pólo de for maior que a ordem do zero de ( ), sendo a ordem do pólo igual a .
  • Nem zero nem pólo se as ordens forem iguais ( ).

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