Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, calcule a integral de
ao longo do segmento retilíneo de zero a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função
ao longo do segmento de reta que vai de
até
. Aqui, vamos usar apenas a definição de integral de linha. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar uma curva reta no plano complexo e como aplicar a definição de integral de linha usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de
até
. A parametrização é uma forma de descrever todos os pontos dessa reta usando uma variável, que geralmente chamamos de
. Como estamos indo de
a
, podemos escrever:
Isso significa que quando
, estamos no ponto inicial
, e quando
, chegamos ao ponto final
. Para qualquer valor de
entre 0 e 1, temos um ponto no meio da reta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as expressões de
e
que representam as partes reais e imaginárias de
. Vamos fazer isso separando
:
Então, temos:
Também precisamos do derivado de
em relação a
, que nos dá
:
Esse derivado é importante porque aparece na fórmula da integral de linha.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na função
, para expressá-la em termos de
:
Substituindo
e
:
Agora, aplicamos a definição da integral de linha:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos agora multiplicar as expressões dentro da integral:
Simplificando cada termo:
Como
:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, integramos cada parte separadamente:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha de
ao longo do segmento de reta de
a
é: