Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, calcule a integral de f(z) = x^2 - y^2 + i(x - y^2) ao longo do segmento retilíneo de zero a 3 + 2 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função ao longo do segmento de reta que vai de até . Aqui, vamos usar apenas a definição de integral de linha. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar uma curva reta no plano complexo e como aplicar a definição de integral de linha usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de até . A parametrização é uma forma de descrever todos os pontos dessa reta usando uma variável, que geralmente chamamos de . Como estamos indo de a , podemos escrever:
Isso significa que quando , estamos no ponto inicial , e quando , chegamos ao ponto final . Para qualquer valor de entre 0 e 1, temos um ponto no meio da reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as expressões de e que representam as partes reais e imaginárias de . Vamos fazer isso separando :
Então, temos:
Também precisamos do derivado de em relação a , que nos dá :
Esse derivado é importante porque aparece na fórmula da integral de linha.

Passo 4

Agora, vamos substituir e na função , para expressá-la em termos de :
Substituindo e :
Agora, aplicamos a definição da integral de linha:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos agora multiplicar as expressões dentro da integral:
Simplificando cada termo:
Como :
Agrupando termos semelhantes:
Agora, integramos cada parte separadamente:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha de ao longo do segmento de reta de a é:

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