Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por e no ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre como determinar retas tangentes a curvas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular sua derivada para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Observando as equações e , percebemos que é constante e depende de . Podemos usar como parâmetro, ou seja, deixar . Assim, a parametrização da curva fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos determinar o vetor direção da curva no ponto dado. Isso é feito calculando a derivada das funções paramétricas em relação a :
No ponto , o valor de é . Substituindo:
Portanto, o vetor direção da reta tangente é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. As equações paramétricas são dadas por:
Onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor direção.