Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdots(2 n)n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo sobre convergência de séries, e pra resolver isso, vamos precisar simplificar o termo geral da série e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) = 2^n cdot n! . Observe que é o produto dos primeiros números pares. Podemos reescrever isso como:
Explicação: Cada termo no produto pode ser escrito como , , , até . Assim, temos multiplicado por .

Passo 3

Substituindo essa simplificação na série original, temos:
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n)n! = sumn=1^infty 2^n cdot n!n! = sumn=1^infty 2^n
Explicação: Os no numerador e denominador se cancelam, deixando apenas .

Passo 4

Agora, a série se simplificou para:
sumn=1^infty 2^n
Essa é uma progressão geométrica onde cada termo é vezes o anterior.

Passo 5

Para verificar a convergência de uma progressão geométrica da forma , a série converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é maior que 1.

Passo 6

Como , a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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