Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo sobre convergência de séries, e pra resolver isso, vamos precisar simplificar o termo geral da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observe que
é o produto dos primeiros
números pares. Podemos reescrever isso como:
Explicação: Cada termo no produto
pode ser escrito como
,
,
, até
. Assim, temos
multiplicado por
.
Passo 3
Substituindo essa simplificação na série original, temos:
Explicação: Os
no numerador e denominador se cancelam, deixando apenas
.
Passo 4
Agora, a série se simplificou para:
Essa é uma progressão geométrica onde cada termo é
vezes o anterior.
Passo 5
Para verificar a convergência de uma progressão geométrica da forma
, a série converge se
e diverge se
.
No nosso caso,
, que é maior que 1.
Passo 6
Como
, a série
diverge.
Resposta
A série
é divergente.