Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
h) vec(r)(t) = (e^(3t), e^(-3t), 3 * raiz(2) * t) ; t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Isso é feito substituindo por 0 na função :
Então, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dará o vetor tangente à curva em qualquer valor de :

Passo 4

Em seguida, avaliamos a derivada no ponto para obter o vetor tangente específico nesse ponto:
Esse vetor representa a direção da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação da reta tangente em forma paramétrica. A equação de uma reta no espaço é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da reta tangente é:
Ou, de forma paramétrica:
Onde é um parâmetro real.

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