Resolva o PVI
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação dada é:
com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui são equações diferenciais de coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Assim, obtemos dois valores para
:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Ou seja:
Passo 6
Em seguida, vamos derivar
para encontrar
:
Agora aplicamos
Ou seja:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver para
e
. Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Agora que sabemos que
, substituímos na equação (1) para encontrar
:
Resposta
A solução do PVI é:
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b)
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
!
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b)
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