Resolva o PVI
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação dada é:

com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui são equações diferenciais de coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:

a equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:

Substituindo os valores:

Passo 4

Assim, obtemos dois valores para :

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :

Ou seja:

Passo 6

Em seguida, vamos derivar para encontrar :

Agora aplicamos :
Ou seja:

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver para e . Subtraindo a equação (2) da equação (1):

Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Agora que sabemos que , substituímos na equação (1) para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

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