Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de a curva passa pelo ponto . Isso significa igualar cada componente de às coordenadas de :
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de .

Passo 3

Começando pela terceira equação: .
Dividindo ambos os lados por 4:
Agora, vamos verificar as outras duas equações com :
Para :
Para :
Então, o valor de que nos dá o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dará o vetor velocidade ou direção da reta tangente:
Vamos avaliar em :
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é dada por:

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i)