Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas paramétricas e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar a direção da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá o vetor velocidade, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar as componentes de a 1:
Aqui, satisfaz todas as equações, então o valor de no ponto é 1.
Passo 4
Com , vamos calcular o vetor derivada nesse ponto:
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.
Passo 5
Agora, temos o ponto e o vetor diretor . A equação da reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica usando um parâmetro :
Então, dividindo em componentes:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto é dada por: