Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
i) vec(r)(t) = (t, t^3, t^4) ; P0 = (1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas paramétricas e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial vec(r)(t). A derivada nos dá o vetor velocidade, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor de t que corresponde ao ponto . Vamos igualar as componentes de vec(r)(t) a 1:
Aqui, satisfaz todas as equações, então o valor de t no ponto P0 é 1.

Passo 4

Com , vamos calcular o vetor derivada nesse ponto:
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.

Passo 5

Agora, temos o ponto e o vetor diretor . A equação da reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica usando um parâmetro s:
Então, dividindo em componentes:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é dada por:
onde s é o parâmetro da reta.

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