Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas paramétricas e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá o vetor velocidade, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar as componentes de a 1:
Aqui, satisfaz todas as equações, então o valor de no ponto é 1.

Passo 4

Com , vamos calcular o vetor derivada nesse ponto:
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.

Passo 5

Agora, temos o ponto e o vetor diretor . A equação da reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica usando um parâmetro :
Então, dividindo em componentes:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é dada por:
onde é o parâmetro da reta.

Exercícios relacionados

Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239 . Após 15 anos, foi detectado que da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
c)
Encontre as trajetórias ortogonais de
Encontre as trajetórias ortogonais de