Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239 . Após 15 anos, foi detectado que da quantidade inicial de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reator que transforma urânio 238 em plutônio 239. Depois de 15 anos, descobrimos que 0,043% da quantidade inicial de plutônio, que era 200 mg, se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir a meia-vida desse isótopo, sabendo que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta. Vamos usar conceitos de decaimento radioativo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, estamos lidando com um decayimento exponencial. A fórmula geral para isso é:
Onde:
  • é a quantidade de material que resta após o tempo .
  • é a quantidade inicial.
  • é a constante de decaimento.
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que 0,043% do inicial se desintegrou, ou seja, resta:
Então, temos:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo anos:
Calculando :
Portanto:

Passo 6

Agora, a meia-vida está relacionada com pela fórmula:
Substituindo :

Resposta

A meia-vida do isótopo de plutônio 239 é aproximadamente 24.100 anos.

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