Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239 . Após 15 anos, foi detectado que
da quantidade inicial
de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um reator que transforma urânio 238 em plutônio 239. Depois de 15 anos, descobrimos que 0,043% da quantidade inicial de plutônio, que era 200 mg, se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir a meia-vida desse isótopo, sabendo que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta. Vamos usar conceitos de decaimento radioativo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, estamos lidando com um decayimento exponencial. A fórmula geral para isso é:
Onde:
-
é a quantidade de material que resta após o tempo . -
é a quantidade inicial. -
é a constante de decaimento. -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que 0,043% do inicial se desintegrou, ou seja, resta:
Então, temos:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituindo
anos:
Calculando
:
Portanto:
Passo 6
Agora, a meia-vida
está relacionada com
pela fórmula:
Substituindo
:
Resposta
A meia-vida do isótopo de plutônio 239 é aproximadamente 24.100 anos.
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