Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n n5+n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n n5+n
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n n5+n | = sumn=1^infty n5+n

Passo 3

Agora, precisamos saber se essa série n5+n = nn+5 = 11+5n converge ou diverge. Uma forma de fazer isso é comparar com uma série que já conhecemos. Observando os termos:
n5+n approx 11+0 = 1
À medida que cresce, tende a zero, então:

Passo 4

Se compararmos com a série
sumn=1^infty 1
que é uma série harmônica conhecida por divergir, percebemos que nossos termos não estão diminuindo o suficiente para que a série original convirja. De fato, como os termos tendem a 1, a soma vai aumentando sem limite.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não pode ser absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Limite dos termos:
  2. Termos decrescentes: Embora os termos pareçam diminuir inicialmente, o limite acima mostra que não tendem a zero.

Resposta

A série é divergente.

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