Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
f)
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela função vetorial no ponto correspondente a . Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e como elas nos dão a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Para isso, substituímos na função :
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente naquele ponto. A derivada de em relação a é:
Vamos avaliar essa derivada em :
Calculando cada componente:
Então,
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .
Passo 4
Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação de uma reta no espaço é dada por: