Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
f)

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela função vetorial no ponto correspondente a . Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e como elas nos dão a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Para isso, substituímos na função :
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da reta tangente naquele ponto. A derivada de em relação a é:
Vamos avaliar essa derivada em :
Calculando cada componente:
Então,
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 4

Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação de uma reta no espaço é dada por:
Onde:
  • é o ponto na reta,
  • é o vetor direção,
  • é o parâmetro.
Substituindo os valores que temos:
Isso dá as equações paramétricas da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à curva em é dada por:
Onde é o parâmetro real.

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b)