Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. !
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de séries, especificamente o Teste da Razão para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente Absoluto: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge, então a série original também converge absolutamente.
Convergente Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: A série não converge nem de forma absoluta nem condicional.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos calcular essa razão para a nossa série:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão:
Quando tende ao infinito, se aproxima de 1. Portanto,
Passo 6
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.