Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty e^-n n !

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de séries, especificamente o Teste da Razão para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absoluto: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge, então a série original também converge absolutamente.
  • Convergente Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: A série não converge nem de forma absoluta nem condicional.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para a nossa série:
an = e^-n n
Então,
an+1an = e^-(n+1) (n+1)e^-n n = e^-1 cdot n+1n

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = n+1n cdot e^-1
Quando L = limn to infty n+1n cdot e^-1 = 1 cdot 1e = 1e approx 0.3679 tende ao infinito, se aproxima de 1. Portanto,

Passo 6

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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