Encontre as trajetórias ortogonais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e a ideia de curvas que se cruzam formando ângulos retos. Pra resolver, vamos precisar entender como derivar essa função e aplicar a condição de ortogonalidade entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a família de curvas
. Aqui,
é uma constante que muda para cada curva diferente na família. Queremos achar uma nova família de curvas que cruza essas curvas originais sempre em um ângulo de 90 graus.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos começar encontrando a equação diferencial da família original. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, como
(a partir da equação original), podemos substituir
na derivada:
Então, a equação diferencial da família original é:
Passo 5
Para encontrar as trajetórias ortogonais, usamos a condição de ortogonalidade, que diz que a derivada da nova família de curvas será o negativo do inverso da derivada original. Ou seja:
Passo 6
Agora, resolvemos essa nova equação diferencial:
Podemos reorganizar para separar as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família
são dadas por:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encontre as trajetórias ortogonais de
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
i)
i)
Para quais valores de
cada série é convergente?
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
f)
f)