Encontre as trajetórias ortogonais de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e a ideia de curvas que se cruzam formando ângulos retos. Pra resolver, vamos precisar entender como derivar essa função e aplicar a condição de ortogonalidade entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a família de curvas . Aqui, é uma constante que muda para cada curva diferente na família. Queremos achar uma nova família de curvas que cruza essas curvas originais sempre em um ângulo de 90 graus.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos começar encontrando a equação diferencial da família original. Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, como (a partir da equação original), podemos substituir na derivada:
Então, a equação diferencial da família original é:

Passo 5

Para encontrar as trajetórias ortogonais, usamos a condição de ortogonalidade, que diz que a derivada da nova família de curvas será o negativo do inverso da derivada original. Ou seja:

Passo 6

Agora, resolvemos essa nova equação diferencial:
Podemos reorganizar para separar as variáveis:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde é uma nova constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família são dadas por:
Onde é uma constante real.

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