Para quais valores de
cada série é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de
a série
converge. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, notamos que a série é do tipo alternada, porque ela tem o termo
, que alterna os sinais dos termos. Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Critério da Serie Alternada. Esse critério diz que, se os termos
(no nosso caso,
) são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série converge.
Passo 3
Vamos verificar cada condição do critério:
-
Positividade:
é positivo quando o denominador é positivo. Ou seja, precisamos que . Como começa em 1 e cresce, isso será verdadeiro se . -
Decrescimento: Precisamos mostrar que
. Calculando, Isso é verdade se, que já estabelecemos que ocorre quando . -
Tendência a zero: Calculamos o limite de
quando vai para o infinito: Isso é sempre verdadeiro, independente de.
Passo 4
Como todas as condições do Critério da Série Alternada estão satisfeitas quando
, concluímos que a série converge para esses valores de
.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
tais que
.
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f)
f)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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