Para quais valores de cada série é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a série converge. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, notamos que a série é do tipo alternada, porque ela tem o termo , que alterna os sinais dos termos. Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Critério da Serie Alternada. Esse critério diz que, se os termos (no nosso caso, ) são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.

Passo 3

Vamos verificar cada condição do critério:
  1. Positividade: é positivo quando o denominador é positivo. Ou seja, precisamos que . Como começa em 1 e cresce, isso será verdadeiro se .
  2. Decrescimento: Precisamos mostrar que . Calculando,
    Isso é verdade se , que já estabelecemos que ocorre quando .
  3. Tendência a zero: Calculamos o limite de quando vai para o infinito:
    Isso é sempre verdadeiro, independente de .

Passo 4

Como todas as condições do Critério da Série Alternada estão satisfeitas quando , concluímos que a série converge para esses valores de .

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

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