Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
b) vec(r)(t) = (t, t + 2, 2t + 1), t in [0, 1]

Passo 1

No exercício, vamos trabalhar com uma curva no espaço tridimensional definida pela função vetorial , onde t varia de 0 a 1. Primeiro, vamos esboçar essa curva mostrando o sentido positivo de percurso. Depois, vamos encontrar uma nova parametrização para a mesma curva, mas com o sentido invertido.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que a função vetorial representa. Cada componente (x, y, z) dessa função nos dá as coordenadas de um ponto na curva para um valor específico de t. Isso significa que, conforme t varia de 0 a 1, a cada valor de t corresponde um ponto diferente na curva.

Passo 3

Para esboçar a curva, precisamos identificar os pontos inicial e final. Calculando e :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos vão de a , indicando que a curva começa no primeiro ponto e termina no segundo conforme t aumenta de 0 para 1.

Passo 4

Observando a função , percebemos que todas as componentes são expressões lineares de t. Isso indica que a curva é uma reta no espaço tridimensional. Portanto, para esboçá-la, basta desenhar uma linha reta ligando os pontos e , seguindo a direção de t = 0 para t = 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma parametrização da mesma curva, mas com o sentido de percurso invertido, ou seja, de t = 1 para t = 0. Para isso, podemos redefinir a variável de parâmetro. Seja . Assim, quando t varia de 0 a 1, s varia de 1 a 0.

Passo 6

Substituindo t por na função original, temos:

Passo 7

Para manter a consistência no intervalo do parâmetro, vamos redefinir s para variar de 0 a 1. Assim, a nova parametrização fica:

Resposta

A parametrização da curva orientada no sentido contrário é , onde .

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