Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
b)
b)
Passo 1
No exercício, vamos trabalhar com uma curva no espaço tridimensional definida pela função vetorial
, onde
varia de 0 a 1. Primeiro, vamos esboçar essa curva mostrando o sentido positivo de percurso. Depois, vamos encontrar uma nova parametrização para a mesma curva, mas com o sentido invertido.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que a função vetorial
representa. Cada componente
dessa função nos dá as coordenadas de um ponto na curva para um valor específico de
. Isso significa que, conforme
varia de 0 a 1, a cada valor de
corresponde um ponto diferente na curva.
Passo 3
Para esboçar a curva, precisamos identificar os pontos inicial e final. Calculando
e
:
- Para
: - Para
:
Esses pontos vão de
a
, indicando que a curva começa no primeiro ponto e termina no segundo conforme
aumenta de 0 para 1.
Passo 4
Observando a função
, percebemos que todas as componentes são expressões lineares de
. Isso indica que a curva é uma reta no espaço tridimensional. Portanto, para esboçá-la, basta desenhar uma linha reta ligando os pontos
e
, seguindo a direção de
para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma parametrização da mesma curva, mas com o sentido de percurso invertido, ou seja, de
para
. Para isso, podemos redefinir a variável de parâmetro. Seja
. Assim, quando
varia de 0 a 1,
varia de 1 a 0.
Passo 6
Substituindo
por
na função original, temos:
Passo 7
Para manter a consistência no intervalo do parâmetro, vamos redefinir
para variar de 0 a 1. Assim, a nova parametrização fica:
Resposta
A parametrização da curva orientada no sentido contrário é
, onde
.
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!
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f)
f)
Resolva o PVI
.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.