A função J1 definida por
J1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1
é denominado função de Bessel de ordem I. Determine o domínio desta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma função de Bessel de ordem I, definida por uma série infinita. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de essa função existe, ou seja, qual é o domínio dela. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a série que define J1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (n+1)! 2^2n+1 :
Queremos saber para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito.

Passo 3

Para descobrir isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. O Teste da Razão diz que, se o limite da razão entre o termo e for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos definir o termo geral da série como:
an = (-1)^n x^2n+1n! (n+1)! 2^2n+1
Agora, vamos calcular a razão an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(n+1)! (n+2)! 2^2(n+1)+1 times n! (n+1)! 2^2n+1(-1)^n x^2n+1 :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = -x^2 (n+2) cdot 4
E o valor absoluto dessa razão é:
| an+1an | = x^24(n+2)

Passo 6

Agora, aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite quando limn to infty x^24(n+2) = 0 vai para o infinito:
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O domínio da função é todo número real, ou seja, .

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