é denominado função de Bessel de ordem I. Determine o domínio desta função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função de Bessel de ordem I, definida por uma série infinita. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de essa função existe, ou seja, qual é o domínio dela. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a série que define :
Queremos saber para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito.
Passo 3
Para descobrir isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. O Teste da Razão diz que, se o limite da razão entre o termo e for menor que 1, a série converge.
Passo 4
Vamos definir o termo geral da série como:
Agora, vamos calcular a razão :
Passo 5
Simplificando a expressão:
E o valor absoluto dessa razão é:
Passo 6
Agora, aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite quando vai para o infinito:
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O domínio da função é todo número real, ou seja, .