Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
sumn=1^infty an x^n
No nosso caso, a série é:
sumn=1^infty x^2nn(ln n)^2 = sumn=1^infty (x^2)^nn(ln n)^2
Então, podemos considerar sumn=1^infty y^nn(ln n)^2 como a variável da série, ou seja, . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|
No nosso caso, raiz[n]|an| = raiz[n]y^nn(ln n)^2 = |y|raiz[n]n(ln n)^2 , então:
limn to infty |y|raiz[n]n(ln n)^2
Vamos calcular o limite:
limn to infty raiz[n]n = 1 e limn to infty raiz[n](ln n)^2 = 1
Sabemos que:
limn to infty |y|raiz[n]n(ln n)^2 = |y|
Portanto:
1R = |y|
Assim, temos:
1R = |x^2| = x^2
Sabendo que R = 1x^2 , então:
Logo:
Mas para encontrar o raio de convergência, precisamos que , ou seja, . Assim, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos onde sumn=1^infty 1^2nn(ln n)^2 = sumn=1^infty 1n(ln n)^2 , ou seja, sumn=1^infty (-1)^2nn(ln n)^2 = sumn=1^infty 1n(ln n)^2 e .
Para :
Essa série é similar à série de p com multiplicada por um fator que faz com que ela convirja. De fato, ela converge por comparação com a integral , que converge.
Para :
O resultado é o mesmo de , então também converge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

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