Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
No nosso caso, a série é:
Então, podemos considerar
como a variável da série, ou seja,
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
No nosso caso,
, então:
Vamos calcular o limite:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, temos:
Sabendo que
, então:
Logo:
Mas para encontrar o raio de convergência, precisamos que
, ou seja,
. Assim, o raio de convergência é 1.
Passo 4
Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos onde
, ou seja,
e
.
Para
:
Essa série é similar à série de p com
multiplicada por um fator que faz com que ela convirja. De fato, ela converge por comparação com a integral
, que converge.
Para
:
O resultado é o mesmo de
, então também converge.
Resposta
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
h)
h)
Verifique se
e
são soluções de
para
.
A função
definida por
é denominado função de Bessel de ordem I. Determine o domínio desta função.
Determinar os pontos em que a curva
corta o plano
.