Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
No nosso caso, a série é:
Então, podemos considerar como a variável da série, ou seja, . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
No nosso caso, , então:
Vamos calcular o limite:
Sabemos que:
Portanto:
Assim, temos:
Sabendo que , então:
Logo:
Mas para encontrar o raio de convergência, precisamos que , ou seja, . Assim, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos onde , ou seja, e .
Para :
Essa série é similar à série de p com multiplicada por um fator que faz com que ela convirja. De fato, ela converge por comparação com a integral , que converge.
Para :
O resultado é o mesmo de , então também converge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

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h)
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