Encontre as trajetórias ortogonais de
Passo 1
Beleza, então temos que encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada dessa família de curvas e depois usar essa informação para determinar as trajetórias que se cruzam perpendicularmente a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da família de curvas
. Lembre-se que a derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em cada ponto.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos das tangentes que são perpendiculares às tangentes da família de curvas original. Se duas curvas se cruzam perpendicularmente, os seus coeficientes angulares multiplicados dão
.
Ou seja, se a inclinação da primeira curva é
, a inclinação da ortogonal será
.
Então, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Mas queremos uma equação que não dependa de
. Para isso, vamos voltar à equação original
e resolver para
:
Substituindo isso na equação diferencial:
Passo 5
Agora, temos a seguinte equação diferencial:
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos arrumar essa equação para deixar mais clara a forma das trajetórias ortogonais:
Multiplicando tudo por 6 para eliminar os denominadores:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por:
Onde
é uma constante real.
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i)
i)
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Encontre as trajetórias ortogonais de
Para quais valores de
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