Encontre as trajetórias ortogonais de

Passo 1

Beleza, então temos que encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente o conceito de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada dessa família de curvas e depois usar essa informação para determinar as trajetórias que se cruzam perpendicularmente a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da família de curvas . Lembre-se que a derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em cada ponto.
Derivando ambos os lados em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos das tangentes que são perpendiculares às tangentes da família de curvas original. Se duas curvas se cruzam perpendicularmente, os seus coeficientes angulares multiplicados dão .
Ou seja, se a inclinação da primeira curva é , a inclinação da ortogonal será .
Então, a derivada das trajetórias ortogonais será:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Mas queremos uma equação que não dependa de . Para isso, vamos voltar à equação original e resolver para :
Substituindo isso na equação diferencial:

Passo 5

Agora, temos a seguinte equação diferencial:
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos arrumar essa equação para deixar mais clara a forma das trajetórias ortogonais:
Multiplicando tudo por 6 para eliminar os denominadores:
Onde é uma nova constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por:
Onde é uma constante real.

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