Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função vetorial
e queremos achar a equação da reta tangente a essa curva em dois pontos específicos:
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, com isso, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada nos dá a velocidade vetorial, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
correspondente aos pontos
e
.
Para
:
Isso acontece quando
, já que
e
.
Para
:
Dividindo a segunda equação por 2:
Isso também ocorre quando
, já que
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada nos pontos
e
.
Para
:
A inclinação da reta tangente é dada pela razão entre as componentes
. Aqui,
e
. Então,
Isso significa que a reta tangente é vertical.
Para
:
A inclinação da reta tangente é:
Passo 5
Agora, vamos montar as equações das retas tangentes.
Para
:
Como a reta é vertical, a equação é simplesmente:
Como a reta é vertical, a equação é simplesmente:
Para
:
Usamos a forma da equação da reta:
Usamos a forma da equação da reta:
Onde
e
. Então:
Vamos simplificar:
Resposta
A equação da reta tangente é:
a) Para o ponto
:
Para o ponto
:
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e)
e)
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Suponha que
e
.
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Dada as condições iniciais
e
.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)
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