Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela função vetorial e queremos achar a equação da reta tangente a essa curva em dois pontos específicos: e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, com isso, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá a velocidade vetorial, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de correspondente aos pontos e .
Para :
Isso acontece quando , já que e .
Para :
Dividindo a segunda equação por 2:
Isso também ocorre quando , já que e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada nos pontos e .
Para :
A inclinação da reta tangente é dada pela razão entre as componentes . Aqui, e . Então,
Isso significa que a reta tangente é vertical.
Para :
A inclinação da reta tangente é:

Passo 5

Agora, vamos montar as equações das retas tangentes.
Para :
Como a reta é vertical, a equação é simplesmente:
Para :
Usamos a forma da equação da reta:
Onde e . Então:
Vamos simplificar:

Resposta

A equação da reta tangente é:
a) Para o ponto :
Para o ponto :

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e)
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Suponha que e .
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Dada as condições iniciais e .
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)