Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e)
e)
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva parametrizada por para
. O conteúdo envolve parametrização de curvas e orientação de percurso. Precisamos esboçar essa curva com o sentido positivo e depois encontrar uma nova parametrização que inverta esse sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva original. A função no eixo
e
no eixo
formam uma curva que se repete a cada
devido às funções senoidal e cossenoidal.
Passo 3
Para parametrizar a curva no sentido contrário, precisamos inverter o parâmetro
. Uma maneira simples de fazer isso é substituir
por
na parametrização original.
Passo 4
Vamos substituir
por
na expressão de
:
Passo 5
Sabemos que e
. Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Agora, para que
ainda percorra o intervalo de
a
, substituímos
por
:
Passo 7
Simplificando usando as propriedades das funções senoidal e cossenoidal:
Resposta
A parametrização da curva orientada no sentido contrário é:
Exercícios relacionados
Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Suponha que
e
.
Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que
e
.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)
a)
Resolva a equação do oscilador harmônico simples:
Dada as condições iniciais
e
.