Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e) r(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)), t em [0, 2pi]

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva parametrizada por para . O conteúdo envolve parametrização de curvas e orientação de percurso. Precisamos esboçar essa curva com o sentido positivo e depois encontrar uma nova parametrização que inverta esse sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva original. A função no eixo e no eixo formam uma curva que se repete a cada devido às funções senoidal e cossenoidal.

Passo 3

Para parametrizar a curva no sentido contrário, precisamos inverter o parâmetro . Uma maneira simples de fazer isso é substituir por na parametrização original.

Passo 4

Vamos substituir por na expressão de :

Passo 5

Sabemos que e . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Agora, para que ainda percorra o intervalo de a , substituímos por :

Passo 7

Simplificando usando as propriedades das funções senoidal e cossenoidal:

Resposta

A parametrização da curva orientada no sentido contrário é:

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